Numerische Methoden für hochdimensionale parabolische Gleichungen am Beispiel von Optionspreisaufgaben

摘要: Zunehmend an Bedeutung in einer Vielzahl von Anwendungsfeldern gewinnen hochdimensionale Aufgabenstellungen, oft der Form partiellen Differentialgleichungen. Kernpunkt dieser Arbeit sind Diskretisierungsverfahren speziell fur diese Problemklasse, wobei en passent auch auf die untrennbar verbundenen Aspekte iterativer Gleichungslosung und Modellreduktion (hier asymptotischer Analysis zur Reduzierung Dimension) eingegangen wird. Als Anwendungsbeispiel werden Optionspreisaufgaben bis zu dreisig Dimensionen studiert, da viele Produkte am Markt durch Anzahl Faktoren direkt (Un-)Gleichungen fuhren auserdem unabdingbare stochastische Modellierung Marktdaten Dimension weiter hochtreibt. Die Basis dazu bilden dunne Gitter. Mittels Kombinationstechnik wird Dunngitter-Losung aus Finite-Differenzen-Losungen Familie anisotroper kartesischer Gitter extrapoliert, wodurch Zahl Freiheitsgrade entscheidend reduziert Algorithmus naturliche Weise parallelisiert kann. Aus geeigneten Fehlerdarstellung kartesischen (Dunngitter-)Fehlerabschatzungen geschlossenen beliebige abgeleitet ein zusatzlicher multivariater Extrapolationsschritt eine hohere Konvergenzordnung motiviert. Dies erlaubt numerische Differentiation mit hinreichender Genauigkeit. Optimale Komplexitat des Gesamtalgorithmus sowie effiziente Lastverteilung robuste Mehrgitterverfahren Block-Glattern angepassten Transferoperatoren freien Randern (bei Amerikanischen Optionen) erzielt. Am Beispiel Basket-Optionen schlieslich demonstriert, wie Probleme, deren Dimensionalitat den dunnen Gittern behandelbaren Rahmen (ungefahr sechs) ubersteigt, mittels Hauptkomponentenanalyse Aufgaben drastisch reduzierter hoher Genauigkeit approximiert konnen.