Questions d’approximation et de compacité pour des problèmes variationnels géométriques

摘要: Deux énergies géométriques de surface sont au cœur de ce manuscrit de thèse: l’aire et l’énergie de Willmore. L’intérêt pour la notion d’aire est ancien puisque les premiers travaux sur le problème isopérimétrique datent de l’antiquité et qu’il existe toujours aujourd’hui une riche activité de recherche autour des surfaces minimales en analyse, en géométrie, en théorie géométrique de la mesure mais aussi en probabilités et en statistique. Le très vaste champ d’applications des surfaces minimales motive également de nombreux travaux portant sur leur approximation discrète. L’énergie de Willmore est peut-être un peu moins connue, ainsi que ses points critiques, les surfaces de Willmore. On rappelle que l’énergie de Willmore désigne l’intégrale sur la surface du carré de la courbure moyenne, qu’elle doit son nom aux travaux du géomètre TJ Willmore dans les années 60 [137, 136] mais que son existence est bien plus ancienne. En dimension 1, Bernoulli et Euler l’avaient déjà proposée au 18e siècle comme énergie de torsion d’une tige élastique. Son étude pour les 2-surfaces dans R3 a commencé dès le début du 19e siècle avec Poisson [117] puis Germain [65] qui l’ont utilisée pour caractériser les plaques élastiques fines. Plusieurs raisons expliquent l’engouement fort dont l’énergie de Willmore (–Poisson–Germain...) bénéficie aujourd’hui:• C’est un invariant pour les transformations conformes de R3 et, à topologie fixée, elle offre par minimisation une bonne définition d’immersion optimale. Mieux encore, l’énergie de Willmore vérifie une propriété de quantification dépendant de la topologie: si Σ est une surface orientable et fermée (ie …